Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наибольшего натурального числа А формула

(ДЕЛ(x, 5) → ДЕЛ(x, A)) ˅ (¬ДЕЛ(x, 8) → ДЕЛ(x, A))

истинна при любом натуральном значении x?

Сначала упростим выражение. Избавимся от всех ДЕЛ и иксов:

(5 → A) ˅ (¬8 → A)

Теперь преобразуем импликацию в дизъюнкцию по правилу A→B = ¬A˅B:

¬5 ˅ A ˅ 8 ˅ A

По закону тождества одну А можно убрать:

A ˅ 8 ˅ ¬5

В получившемся выражении есть известная часть и неизвестная. Выделим известную часть:

A ˅ (8 ˅ ¬5)

Формула должна быть истинна для всех натуральных иксов. То есть если есть какой-то икс, для которого выражение в скобках будет ложным, то этот икс обязательно должен делиться на А. Найдём такие иксы. Выражение в скобках будет ложным для тех чисел, которые кратны 5-ти и не кратны 8-ми. Это числа:

5, 10, 15, 20, 25, 30, 35, 45, 50… +∞

Мы должны подобрать такое максимальное А, чтобы все эти числа на него делились. Очевидно, что это 5.

Ответ: 5