Обозначим через ДЕЛ(n, m) утверждение "натуральное число n делится без остатка на натуральное число m". Для какого наибольшего натурального числа А формула
¬ДЕЛ(x, A) → (ДЕЛ(x, 4) → ¬ДЕЛ(x, 10))
истинна при любом натуральном значении x?
Решение:
Для начала давайте формулу упростим.
Избавимся от всех ДЕЛ и иксов, и без них будет понятно:
¬A → (4 → ¬10)
Теперь преобразуем импликацию в дизъюнкцию по правилу A→B = ¬A˅B:
A ˅ ¬4 ˅ ¬10
Вот такое достаточно простое выражение у нас получилось. В нём есть известная часть и неизвестная. Выделим известную часть:
A ˅ (¬4 ˅ ¬10)
Формула должна быть истинна для всех натуральных иксов. То есть если есть какой-то икс, для которого выражение в скобках будет ложным, то этот икс обязательно должен делиться на А. Найдём такие иксы. Выражение в скобках будет ложно для тех чисел, которые кратны 4-м и кратны 10-ти. Это числа:
20, 40, 60, 80, 100… +∞
Для всех этих чисел выражение в скобках будет ложно, соответственно для того, чтобы все выражение было истинным, они должны делиться на A. Наибольшее число, на которое делятся все эти числа — 20.
в данном случае мы как раз и нашли наибольшее, т.к. все эти числа (20, 40, 60, 80, 100… +∞) делятся на 2,4,5,10,20. 20 - наибольшее из делителей. Если мы возьмем ,например, 60, то числа 20 и 40 уже не поделятся на него целочисленно.
