На числовой прямой даны два отрезка: P=[10,18] и Q=[15,27]. Определите наименьшую возможную длину отрезка А, при котором выражение
¬(x ϵ A) → ((x ϵ P) → (x ϵ Q))
тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.
Решение:
Сначала упростим данное выражение. Избавимся от икса и знака принадлежности:
¬A → (P → Q)
Теперь избавимся от импликации по следующему правилу: a→b = ¬a˅b:
A ˅ ¬P ˅ Q
Отобразим отрезки на числовой прямой следующим образом:
На изображении отрезки разделены на пять частей, каждая из которых имеет свой номер. Первая и последняя части одинаковые (в них нет ни отрезка P, ни отрезка Q), поэтому им присвоен одинаковый номер.
Теперь рассмотрим наше выражение:
A ˅ ¬P ˅ Q
В нем есть известная часть (отрезки P и Q мы знаем по условию), и неизвестная (отрезок А). Получается, что если в какой-нибудь части числовой прямой выражение ¬P ˅ Q даёт ложь, в этом случае обязательно должен находиться отрезок А. Рассмотрим каждую часть числовой прямой для выражения ¬P ˅ Q:
1. 1 0 = 1
2. 0 0 = 0
3. 0 1 = 1
4. 1 1 = 1
Как мы видим, в частях 1, 3 и 4 выражение будет истинно в любом случае, а во 2-й части истинность зависит от отрезка А, т.к. выражение ¬P ˅ Q во 2-й части ложно. Получается, что отрезок А обязательно должен находиться во 2-й части числовой прямой, и его минимальная длина равна:
У меня вопрос по поводу задачи. Во 2 пункте у вас получился 0, я же считаю, что там должен быть 1. Ведь на отрезке 2, неP равно 0, а вот Q равно единице, так как по условию Q принадлежит [15;27]. То есть знак нестрогий, поэтому Q принадлежит отрезку 2. Или я что-то неправильно понял?
