Задание 2. Тип заданий 18: логические выражения.
  • Задание:

    На числовой прямой даны два отрезка: P=[10,18] и Q=[15,27]. Определите наименьшую возможную длину отрезка А, при котором выражение

    ¬(x ϵ A) → ((x ϵ P) → (x ϵ Q))

    тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

  • Решение:

    Сначала упростим данное выражение. Избавимся от икса и знака принадлежности:

    ¬A → (P → Q)

    Теперь избавимся от импликации по следующему правилу: a→b = ¬a˅b:

    A ˅ ¬P ˅ Q

    Отобразим отрезки на числовой прямой следующим образом:

    На изображении отрезки разделены на пять частей, каждая из которых имеет свой номер. Первая и последняя части одинаковые (в них нет ни отрезка P, ни отрезка Q), поэтому им присвоен одинаковый номер.

    Теперь рассмотрим наше выражение:

    A ˅ ¬P ˅ Q

    В нем есть известная часть (отрезки P и Q мы знаем по условию), и неизвестная (отрезок А). Получается, что если в какой-нибудь части числовой прямой выражение ¬P ˅ Q даёт ложь, в этом случае обязательно должен находиться отрезок А. Рассмотрим каждую часть числовой прямой для выражения ¬P ˅ Q:

    1. 1  0 = 1
    2. 0  0 = 0
    3. 0  1 = 1
    4. 1  1 = 1

    Как мы видим, в частях 1, 3 и 4 выражение будет истинно в любом случае, а во 2-й части истинность зависит от отрезка А, т.к. выражение ¬P ˅ Q во 2-й части ложно. Получается, что отрезок А обязательно должен находиться во 2-й части числовой прямой, и его минимальная длина равна:

    15 — 10 = 5

    Ответ: 5

Поделиться:
 
Комментарии (0)

Нет комментариев. Ваш будет первым!

Перевести число из в Результат: 510 = 1012