Решение: Сначала нужно упростить данное выражение. Избавимся от икса и знака принадлежности:
¬A → ¬(¬P → Q)
Теперь избавимся от импликации по следующему правилу: a→b = ¬a˅b:
A ˅ ¬(P ˅ Q)
Теперь по закону де Моргана раскроем скобки:
A ˅ ¬P ˄ ¬Q
Отобразим наши отрезки на числовой прямой таким образом:
Как вы видите, на изображении отрезки поделены на пять частей, каждая из которых пронумерована. Первая и последняя часть одинаковые (в них нет ни отрезка P, ни отрезка Q), поэтому у них одинаковый номер.
Теперь давайте рассмотрим наше выражение.
A ˅ ¬P ˄ ¬Q
В ней есть известная часть (отрезки P и Q мы знаем по условию) и неизвестная (отрезок А). Таким образом, если в какой-либо части числовой прямой известная часть выражения даёт ложь, значит неизвестная должна давать истину. Проще говоря, в тех частях изображения, где ¬P ˄ Q ложно, должен находиться отрезок А. Рассмотрим каждую часть числовой прямой для выражения ¬P ˄ ¬Q:
1. 1 ˄ 1 = 1
2. 0 ˄ 1 = 0
3. 0 ˄ 0 = 0
4. 1 ˄ 0 = 0
Таким образом в частях 2, 3 и 4 числовой прямой выражение ¬P ˄ Q ложно, то есть в этих частях обязательно должен находиться отрезок А.
Определим его наименьшую длину: 76-8=68.
Ответ: 68
