Решение: Для начала упростим данное выражение.
Уберём x и знак принадлежности:
¬A → ¬(¬P → Q)
Теперь избавимся от импликации по закону a → b = ¬a ˅ b:
A ˅ ¬(P ˅ Q)
По закону де Моргана раскроем скобки:
A ˅ ¬P ˄ ¬Q
Теперь построим числовую прямую и отрезки:
Разделим числовую прямую на части. В первой части нет ни отрезка P, ни отрезка Q. Во второй части есть только отрезок P. В третьей части — оба отрезка. В четвертой — только отрезок Q.
Теперь вернёмся к нашему выражению:
A ˅ ¬P ˄ ¬Q
Отрезки P и Q мы знаем, остаётся подобрать отрезок А. Нам нужно, чтобы выражение было истинно всегда, то есть, если известная часть выражения (¬P ˄ ¬Q) для какой-то части прямой будет ложна, значит в этом месте должен находиться отрезок А.
Рассмотрим истинность выражения ¬P ˄ ¬Q для каждой части числовой прямой:
1. ¬P ˄ ¬Q = ¬0 ˄ ¬0 = 1 ˄ 1 = 1
2. ¬P ˄ ¬Q = ¬1 ˄ ¬0 = 0 ˄ 1 = 0
3. ¬P ˄ ¬Q = ¬1 ˄ ¬1 = 0 ˄ 0 = 0
4. ¬P ˄ ¬Q = ¬0 ˄ ¬1 = 1 ˄ 0 = 0
Выражение ¬P ˄ ¬Q ложно для 2, 3 и 4 части прямой, получается, что для того, чтобы всё выражение было истинно, отрезок А должен обязательно перекрывать 2, 3 и 4 части.
Выходит, что наименьшая длина отрезка А равна 37-4 = 33
Ответ: 33