На числовой прямой даны два отрезка: P=[4,29] и Q=[15,37]. Определите наименьшую возможную длину отрезка А, при котором выражение

¬(x ϵ A) → ¬(¬(x ϵ P) → (x ϵ Q))

тождественно истинно, то есть принимает значение 1 при любом значении переменной х.

Для начала упростим данное выражение.

Уберём x и знак принадлежности:

¬A → ¬(¬P → Q)

Теперь избавимся от импликации по закону a → b = ¬a ˅ b:

A ˅ ¬(P ˅ Q)

По закону де Моргана раскроем скобки:

A ˅ ¬P ˄ ¬Q

Теперь построим числовую прямую и отрезки:

Разделим числовую прямую на части. В первой части нет ни отрезка P, ни отрезка Q. Во второй части есть только отрезок P. В третьей части — оба отрезка. В четвертой — только отрезок Q.

Теперь вернёмся к нашему выражению:

A ˅ ¬P ˄ ¬Q

Отрезки P и Q мы знаем, остаётся подобрать отрезок А. Нам нужно, чтобы выражение было истинно всегда, то есть, если известная часть выражения (¬P ˄ ¬Q) для какой-то части прямой будет ложна, значит в этом месте должен находиться отрезок А.

Рассмотрим истинность выражения ¬P ˄ ¬Q для каждой части числовой прямой:

1. ¬P ˄ ¬Q = ¬0 ˄ ¬0 = 1 ˄ 1 = 1

2. ¬P ˄ ¬Q = ¬1 ˄ ¬0 = 0 ˄ 1 = 0

3. ¬P ˄ ¬Q = ¬1 ˄ ¬1 = 0 ˄ 0 = 0

4. ¬P ˄ ¬Q = ¬0 ˄ ¬1 = 1 ˄ 0 = 0

Выражение ¬P ˄ ¬Q ложно для 2, 3 и 4 части прямой, получается, что для того, чтобы всё выражение было истинно, отрезок А должен обязательно перекрывать 2, 3 и 4 части.

Выходит, что наименьшая длина отрезка А равна 37-4 = 33

Ответ: 33