Два игрока, Петя и Ваня, играют в следующую игру. Перед игроками лежат две кучи камней. Игроки ходят по очереди, первый ход делает Петя. За один ход игрок может добавить в одну из куч (по своему выбору) один камень или увеличить количество камней в куче в два раза. Например, пусть в одной куче 10 камней, а в другой 7 камней; такую позицию в игре будем обозначать (10, 7). Тогда за один ход можно получить любую из четырёх позиций: (11, 7), (20, 7), (10, 8), (10, 14). Для того чтобы делать ходы, у каждого игрока есть неограниченное количество камней.
Игра завершается в тот момент, когда суммарное количество камней в кучах становится не менее 73. Победителем считается игрок, сделавший последний ход, т.е. первым получивший такую позицию, что в кучах всего будет 73 камня или больше.
Будем говорить, что игрок имеет выигрышную стратегию, если он может выиграть при любых ходах противника. Описать стратегию игрока – значит описать, какой ход он должен сделать в любой ситуации, которая ему может встретиться при различной игре противника. Например, при начальных позициях (6, 34), (7, 33), (9, 32) выигрышная стратегия есть у Пети. Чтобы выиграть, ему достаточно удвоить количество камней во второй куче.
Задание 1. Для каждой из начальных позиций (6, 33), (8, 32) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.
Задание 2. Для каждой из начальных позиций (6, 32), (7, 32), (8, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. В каждом случае опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии.
Задание 3. Для начальной позиции (7, 31) укажите, кто из игроков имеет выигрышную стратегию. Опишите выигрышную стратегию; объясните, почему эта стратегия ведёт к выигрышу, и укажите, какое наибольшее количество ходов может потребоваться победителю для выигрыша при этой стратегии. Постройте дерево всех партий, возможных при указанной Вами выигрышной стратегии. Представьте дерево в виде рисунка или таблицы.
Источник: демоверсия ФИПИ по информатике и ИКТ 2016-го года.
В решении задания есть видеоразбор
Решение:
Данное задание решается последовательно. Решив первую часть задания, мы легко можем решить следующую.
Задание 1.Кто из игроков имеет выигрышную стратегию при позициях (6, 33) и (8, 32)?
Игроки могут делать два хода — прибавить к любой из куч один камень, или умножить количество камней в любой из куч на два. Игрок выигрывает, когда суммарное количество камней в куче становится >= 73. Будем считать, что прибавление одного камня в маленькую кучу — самый слабый ход, а увеличение в два раза большой кучи — самый сильный ход. Остальные ходы нам не интересы. Рассмотрим это на графе:
Петя первым ходом не может получить суммарное количество >=73, зато Ваня может, удвоив количество камней во второй куче после хода Пети:
7 + 2*33 = 73
6 + 2*66 = 138
9 + 2*32 = 73
8 + 2*64 = 136
То есть при позициях (6, 33) и (8, 32) второй игрок (Ваня) выигрывает первым ходом.
Так как Петя, получив такие позиции, проиграл, будем считать, что позиции (6, 33) и (8, 32) проигрышные, и игрок, которому они достанутся, проиграет.
Задание 2.Кто из игроков имеет выигрышную стратегию при позициях (6, 32), (7, 32), (8, 31)?
Петя ходит первым, очевидно, что он хочет выиграть, а для этого должен играть правильно. То есть он должен стараться сделать так, чтобы Ване досталась проигрышная позиция. Мы знаем две проигрышные позиции из пункта 1 — (6, 33) и (8, 32). Эти проигрышные позиции Петя может сделать своим первым ходом для Вани из предложенных позиций:
(6, 32) -> (6, 33)
(7, 32) -> (8, 32)
(8, 31) -> (8, 32)
То есть Петя сделал для Вани проигрышную позицию, в результате чего Ваня проиграет, а Петя выиграет своим вторым ходом. Будем считать, что позиции (6, 32), (7, 32), (8, 31) выигрышные, так как они достались Пете и Петя выиграл.
Задание 3.Кто из игроков имеет выигрышную стратегию при позиции (7, 31)?
Рассмотрим все возможные ходы Пети из этой позиции:
(7, 31) -> (8, 31)
(7, 31) -> (7, 32)
(7, 31) -> (14, 31)
(7, 31) -> (7, 62)
То есть Ване могут достаться позиции (8, 31), (7, 32), (14, 31), (7, 62). Рассмотрим каждую:
(8, 31) — выигрышная позиция, исходя из пункта 2 решения;
(7, 32) — выигрышная позиция, исходя из пункта 2 решения;
(14, 31) — Ваня выиграет, умножив 31 на 2;
(7, 62) — Ваня выиграет, умножив 62 на 2.
Выходит, что все позиции, которые достались Ване — выигрышные. При этом при позициях (8, 31) и (7,32) Ване потребуется сделать два хода для победы. То есть при начальной позиции (7, 31) Ваня выиграет максимум двумя ходами.
