Результат арифметического выражения 4¹²⁰+2³⁰⁰-9 записали в системе счисления с основанием 2. Сколько единиц содержится в этой записи?

Для начала представим каждое число в виде степени двойки:

4¹²⁰ = (2²)¹²⁰ = 2²⁴⁰

-9 = -16 + 4 + 2 + 1 = -2⁴ + 2² + 2¹ + 2⁰

Теперь запишем получившееся выражение:

2²⁴⁰ + 2³⁰⁰ — 2⁴ + 2² + 2¹ + 2⁰

Важный момент, о котором многие забывают: мы должны расставить степени в порядке убывания:

2³⁰⁰ + 2²⁴⁰ — 2⁴ + 2² + 2¹ + 2⁰

Теперь обратимся к правилу: десятичное число N в какой-либо степени равно единице с количеством нулей после неё, равному этой степени, в системе счисления с основанием N. Проще говоря, 2⁵ в двоичной системе счисления — это единица и пять нулей, то есть 100000.

Таким образом, 2³⁰⁰ — это одна единица, 2², 2¹, 2⁰ также дают по одной единице. Остаётся определить количество единиц для выражения 2²⁴⁰ — 2⁴.

Рассмотрим пример 2⁸ — 2³:

_100000000
      1000
----------
  11111000

У нас получилось пять единиц, проще говоря, количество единиц при вычитании таких чисел равно разности степеней. То есть количество единиц в выражении 2²⁴⁰ — 2⁴ равно 240-4 = 236.

При этом у нас есть еще четыре единицы от чисел 2³⁰⁰, 2², 2¹, 2⁰, то есть общее количество единиц равно

236+1+1+1+1 = 240

Ответ: 240