Решение: Обратите внимание на выражения в скобках. Скобки не связаны одинаковыми переменными, то есть в первой скобке у нас одни переменные (x1 и x2), во второй — другие (x3 и x4). Таким образом мы можем заменить каждую скобку отдельной переменной. Но скобки у нас отличаются, в первой — дизъюнкция, во второй — конъюнкция отрицаний.
Но по закону де Моргана мы можем вынести НЕ за скобки, и получим одинаковые выражения:
(x1 ˅ x2) → ¬(x3 ˅ x4) = 1
(x3 ˅ x4) → ¬(x5 ˅ x6) = 1
(x5 ˅ x6) → ¬(x7 ˅ x8) = 1
(x7 ˅ x8) → ¬(x9 ˅ x10) = 1
Теперь мы можем заменить каждую скобку переменной:
a → ¬b = 1
b → ¬c = 1
c → ¬d = 1
d → ¬e = 1
Давайте подумаем, в каких случаях система будет давать ложь. Система будет ложна, если хотя-бы одно уравнение будет ложным, а это возможно только в случае, если обе переменные в уравнении будут истинны. Таким образом, в наборе значений для переменных a..e не может быть двух рядом стоящих единиц.
Найдём все такие наборы. Для упрощения задачи сначала найдём наборы без единиц, затем с одной единицей, затем с двумя и т.д.:
Всего получилось 13 наборов.
Теперь еще раз вернёмся к исходной системе:
(x1 ˅ x2) → ¬(x3 ˅ x4) = 1
(x3 ˅ x4) → ¬(x5 ˅ x6) = 1
(x5 ˅ x6) → ¬(x7 ˅ x8) = 1
(x7 ˅ x8) → ¬(x9 ˅ x10) = 1
Каждая переменная a..e является дизъюнкцией, то есть в случае, когда такая переменная истинна, она может принимать три разных варианта, а когда ложна — один. Таким образом мы можем рассчитать количество наборов иксов для каждой построенной цепочки:
1 цепочка без единиц — 1 набор иксов;
5 цепочек с 1 единицей — 5*3 = 15 наборов иксов;
6 цепочек с 2 единицами — 6*32 = 54 наборов иксов;
1 цепочка с 3 единицами — 33 = 27 наборов иксов.
Остаётся сложить. 1+15+54+27 = 97 различных наборов.
Ответ: 97
